三、伯努利方程

   伯努利方程就是能量守衡定律在流动液体中的表现形式。

(动能定理)

1、理想液体的运动微分方程

   在微小流束上，取截面积为dA，长为ds的微元体，现研究理想液体定常流动条件下在重力场中沿流线运动时其力的平衡关系。

                                       

     微元体的所受的重力为-ρgdAds，压力作用在两端面上的力为

                                             

          微元体在定常流动下的加速度为

                                            

          微元体的力平衡方程为

                              

        上式简化后可得            

      p，z，u只是s的函数，进一步简化得 
                                            

    上式即为重力场中，理想液体沿流线作定常流动时的运动方程，即欧拉运动方程。

 

2、理想液体的伯努利方程

沿流线对欧拉运动方程积分得

      上式两边同除以g 得

 以上两式即为理想液体作定常流动的伯努利方程。

  伯努利方程推导简图

                                       

 

物理意义：

   第一项为单位重量液体的压力能称为比压能（ p/ρg ）；

   第二项为单位重量液体的动能称为比动能（ u2/2g ）；

   第三项为单位重量液体的位能称为比位能（z）。

    由于上述三种能量都具有长度单位，故又分别称为压力水头、速度水头和位置水头。三者之间可以互相转换，但总和（H，称为总水头）为一定值。

                      

 

3．实际液体流束的伯努利方程

    实际液体都具有粘性，因此液体在流动时还需克服由于粘性所引起的摩擦阻力，这必然要消耗能量，设因粘性二消耗的能量为hw'，则实际液体微小流束的伯努利方程为

4．实际液体总流的伯努利方程

    将微小流束扩大到总流，由于在通流截面上速度u是一个变量，若用平均流速代替，则必然引起动能偏差，故必须引入动能修正系数。于是实际液体总流的伯努利方程为

                

式中 hw---由液体粘性引起的能量损失；

           α1，α2---动能修正系数，一般在紊流时取 α＝1，层流时取α＝2。

5．伯努利方程应用举例

　例1 侧壁孔口流出速度

条件: p1和p2 ，h为高，以小孔中心线为基准 。      

                        

 

例2 文丘利流量计

      

 

例3 液压泵的最大吸油高度

             

例4 试运用连续性方程和伯努利方程分析变截面水平管道各处的压力情况.

        条件:A1>A2>A3      比较:流速和压力的大小