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优化设计的数学模型

    建立数学模型是进行优化设计的首要关键任务，前提是对实际问题的特征或本质加以抽象，再将其表现为数学形态。

数学模型描述

    数学模型的规范化描述形式为：
    min F(X) X=(x1,x2,…,xn)T X∈Rn gi(X)≥0 i=1,2,...m hj(X)=0 j=1,2,…,p （参看引例）

建立数学模型的一般过程：

步骤 名称 说明
1 分析设计问题，初步建立数学模型。     即使是同一设计对象，如果设计目标和设计条件不同，数学模型也会不同。因此，要首先弄清问题的本质，明确要达到的目标和可能的条件，选用或建立适当的数学、物理、力学模型来描述问题。
2 抓住主要矛盾，确定设计变量。     设计变量越多，设计自由度就越大，越容易得到理想的结果。但随着设计变量的增多，问题也随之复杂。因此，应抓住主要矛盾，适当忽略次要因素，合理简化。
3 根据工程实际，提出约束条件。     约束条件的数目多，则可行的设计方案数目就减少，优化设计的难度增加。理论上讲，利用一个等式约束，可以消去一个设计变量，从而降低问题的阶次，但工程上往往很难做到设计变量是一定值常量，为了达到效果，总是千方百计使其接近一常量，反而使问题过于复杂化。另外，某些优化方法不支持等式约束。因此，实际上利用等式约束需很慎重，尤其结构优化设计尽量少采用等式约束。
4 对照设计实例，修正数学模型。     初步建立模型之后，应与设计问题加以对照，并对函数值域、数学精确度和设计性质等方面进行分析，若不能正确、精确地描述设计问题，则需用逐步逼近的方法对模型加以修正。
5 正确求解计算，估价方法误差。     如果数学模型的数学表达式比较复杂，无法求出精确解，则需采用近似的数值计算方法，此时应对该方法的误差情况有一个清醒的估计和评价。
6 进行结果分析，审查模型灵敏性。     数学模型求解后还应进行灵敏度分析，也即在优化结果的最优点处，稍稍改变某些条件，检查目标函数和约束条件的变化程度。若变化大，则说明灵敏性高，就需要重新修正数学模型。因为，工程实际中设计变量的取值不可能与理论计算结果完全一致，灵敏性高，可能对最优值产生很大影响。